Zur irreversiblen Thermodynamik der Strahlung
- Ein Beitrag zur Erweiterten Thermodynamik -
Dissertation von Henning Struchtrup, TU Berlin 1996

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Das wesentliche Ziel der irreversiblen Strahlungsthermodynamik ist die Berechnung des Transportes von Energie und Impuls durch Strahlung sowie des Austausches von Energie und Impuls zwischen Strahlung und Materie. Ein weiteres Ziel ist die Berechnung anderer in der Thermodynamik wichtiger Grössen, etwa der Entropie, des Entropieflusses und der Entropieproduktion der Strahlung.

Die Kenntnis dieser Grössen ist notwendig in allen physikalischen Systemen in denen Strahlung in Wechselwirkung mit Materie steht. Das wichtigste Anwendungsgebiet ist sicherlich die Astrophysik, d.h. die Beschreibung der Prozesse im Innern von Sternen. Grundsätzlich ist zu unterscheiden zwischen Prozessen in denen die Strahlung im lokalen thermischen Gleichgewicht mit der Materie steht, im folgenden als Strahlungsgleichgewicht bezeichnet, und Prozessen in denen das gerade nicht der Fall ist. Beide Probleme sind im Prinzip gelöst, wenn die Strahlungs-Transport-Gleichung mit allen die Wechselwirkung zwischen Strahlung und Materie beschreibenden Termen bekannt ist. Die Bereitstellung der Wechselwirkungsterme ist Aufgabe der Quantenmechanik, im wesentlichen müssen spektrale Absorptions- und Streukoeffizienten berechnet werden. Da sich die Vorgänge im Innern von Sternen naturgemäss einer Messung entziehen und auch nicht im Labor simuliert werden können, müssen die Koeffizienten vollständig, also ohne anzupassende Parameter, bekannt sein.

Die thermodynamischen Grössen können aus der Verteilungsfunktion der Strahlung (oder alternativ, aus der Intensität) und den spektralen Absorptions- und Streukoeffizienten durch Integration über alle Frequenzen und Ausbreitungsrichtungen berechnet werden. Dazu muss die Verteilungsfunktion bekannt sein. Sie ergibt sich als Lösung der Strahlungs-Transport-Gleichung. Diese ist allerdings nur für einfache Probleme analytisch lösbar, im allgemeinen muss sie numerisch gelöst werden. Die interessierenden Grössen folgen dann durch (numerische) Integration.

Im Fall des lokalen Strahlungsgleichgewichts liegt lokal die bekannte Planck-Verteilung vor. Mit einer der Chapman-Enskog-Methode ähnlichen Prozedur kann eine Näherungslösung der Strahlungs-Transport-Gleichung konstruiert werden, aus der sich alle interessierenden Grössen berechnen lassen}. Daraus ergibt sich insbesondere das Rosseland-Mittel des Absorptionskoeffizienten, das als Proportionalitätsfaktor zwischen dem Strahlungsimpuls (oder dem Energiefluss ) und dem Temperaturgradienten der Materie steht.

Die Theorie des lokalen Nichtgleichgewichts zwischen Strahlung und Materie wird notwendig, wenn die Wechselwirkung von Strahlung mit relativ dünner Materie beschrieben werden muss , etwa in der Atmosphäre von Sternen. Während die Theorie des Strahlungsgleichgewichts voll ausgeformt ist und neue Nahrung nur durch die Berechnung neuer spektraler Koeffizienten erhalten kann, ist die Theorie des lokalen Nichtgleichgewichts noch heute Gegenstand der Forschung.

Der Zugang über die Strahlungs-Transport-Gleichung ist sehr aufwendig, da diese für alle Frequenzen und Ausbreitungsrichtungen gelöst werden muss . Hier bietet sich als Alternative die Methode der Momentengleichungen an: Aus der Strahlungs-Transport-Gleichung lassen sich Momentengleichungen für die Momente der Verteilungsfunktion (unter anderem Energie und Impuls) gewinnen. Man erhält einen Satz unendlich vieler gekoppelter partieller Differentialgleichungen, die die Strahlungs-Transport-Gleichung ersetzen.

Da es nicht möglich ist, unendlich viele Gleichungen zu lösen, muss man sich auf eine endliche Zahl von Momentengleichungen beschränken. Es stellt sich die Frage, welche und wieviele Momentengleichungen benötigt werden, um den Energie- und Impulstransport zufriedenstellend zu beschreiben.
Die Beschränkung auf eine endliche Zahl von Gleichungen wirft noch ein weiteres Problem auf: Das Gleichungssystem aus endlich vielen Gleichungen ist nicht abgeschlossen, da in ihm mehr Unbekannte als Variablen auftreten. Hier benötigt man Zustandsgleichungen, um das System zu schliessen. Es fragt sich, wie diese zu bestimmen sind.

Hier gibt es eine Vielzahl konkurrierender Theorien, die die gestellten Probleme auf verschiedene Art angehen. Eine grosse Zahl von Autoren beschränkt sich auf die Momentengleichungen für Energie und Impuls, die mit verschiedenen Mitteln abgeschlossen werden. Diese Theorien reichen zu einer korrekten Beschreibung des lokalen Nichtgleichgewichts nicht aus, da die Vielfalt an möglichen Abweichungen von der Gleichgewichtsverteilung unmöglich nur durch zwei Grössen, Energie und Impuls, beschrieben werden kann. Aus diesem Grund wurde von Anderson&Spiegel eine Theorie entwickelt, die eine grössere Zahl von Momenten berücksichtigt. Diese Theorie wurde später insbesondere von Thorne und Schweizer ausgeformt, die sich vorallem mit der Berechnung mittlerer Absorptions- und Streukoeffizienten beschäftigten. Unseres Erachtens ist auch diese Theorie nicht befriedigend, da die gewählten Momente zwar die Anisotropie der Verteilungsfunktion widerspiegeln, die spektrale Abweichung der Verteilungsfunktion von der Planck-Verteilung jedoch nicht berücksichtigen.

Daher gehen wir in der vorliegenden Arbeit vor wie folgt: Zunächst wird ein ganz allgemeiner Satz von Momenten als Variable gewählt. Die Verteilungsfunktion wird mittels des Entropiemaximumprinzips als Funktion der Variablen dargestellt. Diese Verteilungsfunktion stellt sich heraus als eine Reihenentwicklung der tatsächlichen Verteilungsfunktion nach Kugelflächenfunktionen, wodurch die Anisotropie berücksichtigt wird, und nach Potenzen der Frequenz, womit auch die spektrale Abweichung von der Gleichgewichtsverteilung ihren Niederschlag findet. Die Zustandsgleichungen werden mit dieser Verteilungsfunktion berechnet.

Das so gewonnene Gleichungssystem für eine beliebige Zahl von Momenten wird dann daraufhin untersucht, welche Momente zur korrekten Berechnung des Energie- und Impulstransportes notwendig sind. Dazu werden einfache Probleme untersucht, für welche die Momentengleichungen und die Strahlungs-Transport-Gleichung gelöst werden können. Die Ergebnisse werden verglichen und daraus werden Schlüsse auf die notwendigen Variablen gezogen. Diese Betrachtungen werden ergänzt um Untersuchungen der Struktur des Gleichungssystems, aus denen sich weitere Einschränkungen gewinnen lassen.

Insbesondere folgt aus diesen Überlegungen, dass es lediglich im Grenzfall des Strahlungsgleichgewichts genügt, nur Energie und Impuls als Variablen zu wählen. In diesem Fall bestätigt die neue Theorie die klassische Theorie des Strahlungsgleichgewichts, insbesondere das Rosseland-Mittel. Im Fall des lokalen Nichtgleichgewichts muss der Variablensatz deutlich erweitert werden.

Als Folge der aus dem Entropiemaximumprinzip bestimmten Verteilungsfunktion, die einer Reihenentwicklung mit den Momenten als Koeffizienten entspricht, sind die Momentengleichungen durch Matrizen von mittleren Absorptions- und Streukoeffizienten gekoppelt. Diese Kopplung ist bisher in der Literatur der Strahlungsthermodynamik nicht bekannt und als das wichtigste Ergebnis der Arbeit anzusehen. Im Verlauf der Arbeit wird gezeigt, dass erst diese Kopplung eine Übereinstimmung zwischen Lösungen der Momentengleichungen und Lösungen der Strahlungs-Transport-Gleichung liefert.